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Métodos Analíticos y Análisis de Señales

Esta asignatura proporciona herramientas matemáticas fundamentales para abordar problemas de análisis de señales y sistemas. La resolución estos problemas depende en gran medida de que las señales implicadas se
describan de forma adecuada, y por lo tanto las herramientas se estructuran en torno a las ideas de descomposición lineal y de aproximación, que se formalizan en el marco de los espacios vectoriales en los que existe un producto escalar y por lo tanto admiten nociones como proyección ortogonal y base ortonormal. Así se introducen las técnicas modernas para analizar las señales de estos espacios, que extienden el análisis de Fourier clásico de los cursos de grado.

 

Por otra parte, con el fin de proporcionar una visión amplia y general de los diversos enfoques disponibles para el análisis, el curso presenta de forma integrada los modelos deterministas y los modelos estocásticos, presentados de forma que se haga en ambos casos uso de las mismas herramientas matemáticas básicas.

 

Programa

TEMA

A. Técnicas matriciales

  1. Productos escalares y normas.
    • Diagonalización
    • Diagonalización de matrices hermíticas
    • Análisis de componentes principales.
      Aplicaciones en compresión de señales.
  2. Descomposición en valores singulares.
    • Definición y propiedades. Aplicaciones básicas
    • Condicionamiento de sistemas de ecuaciones lineales.
  3. Aproximación mínimo-cuadrática
    • Proyecciones ortogonales.
    • Sistemas de ecuaciones sobredeterminados.
      Ecuaciones normales, matriz seudoinversa.
    • Aplicación en restauración de señales.
    • Condicionamiento del problema de mínimos cuadrados.
    • Sistemas de ecuaciones lineales indeterminados.
      Sistemas generales de ecuaciones lineales.
    • Mínimos cuadrados recursivos.
    • Mínimos cuadrados no lineales.
  4. Otras técnicas de análisis lineal de señales
    • Bases sobredimensionadas. Matching pursuit y variantes
    • Compressed sensing
  5. Introducción a la representación no lineal de datos
    • Variedades no lineales en el espacio euclídeo. Parametrizaciones.
    • Reducción de dimensionalidad. Escalado multidimensional

B. Análisis de señales aleatorias

  1. Introducción a los procesos y secuencias aleatorias
    • Definiciones básicas. Clasificación. Aplicaciones.
    • Descripciones probabilísticas.
    • Estacionariedad
    • Ergodicidad
    • Transformaciones lineales
  2. Análisis de momentos de segundo orden
    • Matrices de correlación y covarianza
    • Espectros de potencia
    • Transformada de Karhunen-Loève
    • Procesos periódicos
    • Muestreo de procesos continuos
  3. Estimación
    • Estimación lineal en media cuadrática. Principio de  ortogonalidad.
    • Teoría de Wiener-Kolmogorov. Filtro de Wiener.
    • Estimación recursiva. Filtro de Kalman


Material docente

Se proporcionan notas del curso y transparencias que desarrollan el temario.

 

Evaluación

La evaluación se basa fundamentalmente en la valoración continuada del trabajo de cada alumno en términos de ejercicios resueltos y trabajos teóricos y prácticos, pudiendo exigirse la realización de un examen final a aquellos alumnos cuyo trabajo durante el curso no haya quedado suficientemente atestiguado.